(2,0) Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2 \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2 \sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Este é um caso de série do tipo p-série, para a qual usaremos o teste de p-série.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{\pi}{2 \sqrt{n}} = \frac{\pi}{2}\,n^{-\tfrac12}.
Logo, a série é um múltiplo constante \tfrac{\pi}{2} da p-série \sum n^{-1/2}.

Passo 3

Pelo teste de p-série, \sum n^{-p} converge somente se p>1 e diverge se p \le 1. Aqui temos p = \tfrac12 < 1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\tfrac12}
é divergente. Multiplicar por \tfrac{\pi}{2} não muda o caráter de convergência.

Resposta

A série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2 \sqrt{n}}
é divergente.

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