Ache a série de potências que representa a integral e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a série de potências que representa a integral e também descobrir o raio de convergência dessa série. Isso está relacionado com cálculo de integrais e séries de potências, então vamos precisar saber como expandir funções em séries e entender até onde essa série vale.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função dentro da integral: . Queremos escrever isso como uma série de potências. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que centralize a expansão em torno de , já que o limite inferior da integral é 3. Vamos definir:
Substituindo na função:
Passo 3
Agora, reconhecemos a forma de uma série geométrica: , onde . Comparando com a nossa expressão:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série de potências de até :
Agora, fazemos a mudança de variável , então quando , e quando , . A integral fica:
Integrando :
Então, a série integrada fica:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, observamos a série geométrica original . Sabemos que ela converge quando:
Como u = t - 3, isso significa que |t - 3| < 2. Portanto, o raio de convergência é 2.
Resposta
A série de potências que representa a integral integral3^x dtt-1 é: