Ache a série de potências que representa a integral integral3^x d tt-1 e determine seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a série de potências que representa a integral integral3^x dtt-1 e também descobrir o raio de convergência dessa série. Isso está relacionado com cálculo de integrais e séries de potências, então vamos precisar saber como expandir funções em séries e entender até onde essa série vale.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função dentro da integral: 1t-1. Queremos escrever isso como uma série de potências. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que centralize a expansão em torno de t = 3, já que o limite inferior da integral é 3. Vamos definir:
t = 3 + u Rightarrow u = t - 3
Substituindo na função:
1t - 1 = 1(3 + u) - 1 = 1u + 2 = 12 cdot 11 + u2 = 12 cdot 11 - (-u2)

Passo 3

Agora, reconhecemos a forma de uma série geométrica: 11 - r = sumn=0^infty r^n, onde |r| < 1. Comparando com a nossa expressão:
12 cdot 11 - (-u2) = 12 sumn=0^infty (-u2)^n
Substituindo u = t - 3 de volta:
1t - 1 = 12 sumn=0^infty (-t - 32)^n

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série de potências de t = 3 até t = x:
integral3^x dtt - 1 = integral3^x 12 sumn=0^infty (-t - 32)^n dt = 12 sumn=0^infty integral3^x (-t - 32)^n dt
Agora, fazemos a mudança de variável u = t - 3, então quando t = 3, u = 0 e quando t = x, u = x - 3. A integral fica:
Integrando 12 sumn=0^infty integral0^x - 3 (-u2)^n du = 12 sumn=0^Infinity (-12)^n integral0^x - 3 u^n du :
u^n
Então, a série integrada fica:
integral0^x - 3 u^n du = (x - 3)^n + 1n + 1

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, observamos a série geométrica original sumn=0^infty (-u2)^n. Sabemos que ela converge quando:
| -u2 | < 1 Rightarrow | u2 | < 1 Rightarrow |u| < 2
Como u = t - 3, isso significa que |t - 3| < 2. Portanto, o raio de convergência é 2.

Resposta

A série de potências que representa a integral integral3^x dtt-1 é:
x - 32 sumn=0^infty (-x - 32)^nn + 1
E o raio de convergência dessa série é 2.

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