Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta:
e) (F) Uma série de potências sumn=0^+infty an x^n pode convergir em um único valor de x .

Passo 1

O enunciado pede para analisar a seguinte afirmação sobre séries de potência: “Uma série de potências sumn=0^infty an x^n pode convergir em um único valor de x”. O conteúdo principal aqui é o conceito de raio de convergência e a forma como ele determina o conjunto de pontos em que a série converge.

Passo 2

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência R de sum an x^n é dado por:
R = 1limsupntoinfty raiz[n]|an|
Então:
– Se R>0, a série converge para todo x com |x| (um intervalo infinito de valores).
– Se R=0, a série só converge em x=0 (um único ponto).

Passo 3

Como existe claramente o caso R=0 (por exemplo, se an=n! então a série só converge em x=0), é possível que uma série de potência converja em apenas um valor de x. Assim, a afirmação dada é verdadeira, e classificá-la como falsa (F) está incorreto.

Resposta

F

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