Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta:
e) (F) Uma série de potências
pode convergir em um único valor de x .
e) (F) Uma série de potências
Passo 1
O enunciado pede para analisar a seguinte afirmação sobre séries de potência: “Uma série de potências
pode convergir em um único valor de
”. O conteúdo principal aqui é o conceito de raio de convergência e a forma como ele determina o conjunto de pontos em que a série converge.
Passo 2
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência
de
é dado por:
Então:
– Se , a série converge para todo
com
(um intervalo infinito de valores).
– Se , a série só converge em
(um único ponto).
– Se
– Se
Passo 3
Como existe claramente o caso
(por exemplo, se
então a série só converge em
), é possível que uma série de potência converja em apenas um valor de
. Assim, a afirmação dada é verdadeira, e classificá-la como falsa (F) está incorreto.
Resposta
F