Encontre a série de Taylor em potências de
para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor em potências de
para a função
. Isso significa que vamos desenvolver a função
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e como montar a série de Taylor usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
No nosso caso, queremos expandir em torno de
, então teremos:
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
Então,
Passo 5
Vamos para a segunda derivada:
Então,
Passo 6
A terceira derivada é:
Então,
Passo 7
Vamos montar os primeiros termos da série de Taylor usando os valores que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor em potências de
para a função
é:
Ou simplificando os coeficientes: