Encontre a série de Taylor em potências de (x+pi3) para a função
f(x)=sen 3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor em potências de (x+pi3) para a função f(x) = sin(3x). Isso significa que vamos desenvolver a função sin(3x) como uma soma infinita de termos envolvendo potências de (x+pi3). Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e como montar a série de Taylor usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto a é dada por:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots
No nosso caso, queremos expandir em torno de a = -pi3, então teremos:
f(x) = f(-pi3) + f'(-pi3)(x + pi3) + f''(-pi3)2!(x + pi3)^2 + dots

Passo 3

Vamos calcular f(-pi3). Substituindo na função:
f(-pi3) = sin(3 times -pi3) = sin(-pi) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de f(x):
f'(x) = ddx sin(3x) = 3cos(3x)
Então,
f'(-pi3) = 3cos(3 times -pi3) = 3cos(-pi) = 3(-1) = -3

Passo 5

Vamos para a segunda derivada:
f''(x) = ddx 3cos(3x) = -9sin(3x)
Então,
f''(-pi3) = -9sin(3 times -pi3) = -9sin(-pi) = -9(0) = 0

Passo 6

A terceira derivada é:
f'''(x) = ddx -9sin(3x) = -27cos(3x)
Então,
f'''(-pi3) = -27cos(3 times -pi3) = -27cos(-pi) = -27(-1) = 27

Passo 7

Vamos montar os primeiros termos da série de Taylor usando os valores que calculamos:
f(x) = 0 + (-3)(x + pi3) + 02!(x + pi3)^2 + 273!(x + pi3)^3 + dots
Simplificando:
f(x) = -3(x + pi3) + 276(x + pi3)^3 + dots
f(x) = -3(x + pi3) + 4.5(x + pi3)^3 + dots

Resposta

A série de Taylor em potências de (x+pi3) para a função f(x) = sin(3x) é:
sin(3x) = -3(x + pi3) + 276(x + pi3)^3 + dots
Ou simplificando os coeficientes:
sin(3x) = -3(x + pi3) + 4.5(x + pi3)^3 + dots

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