Ache a série de Taylor para e^x em 3, usando a série de Maclaurin para e^x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de e^x em torno de x=3. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin de e^u, que é a expansão em torno de u=0, e depois fazer a mudança de variável u = x-3.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^u é bem conhecida:
e^u = sumn=0^infty u^nn!,
válida para todo u.

Passo 3

Note que
e^x = e^3+(x-3) = e^3 , e^,x-3
Aqui identificamos u = x-3, de modo que podemos aplicar a série de Maclaurin ao fator e^,x-3.

Passo 4

Usando a expansão de e^u com u = x-3, temos
e^,x-3 = sumn=0^infty (x-3)^nn!
Multiplicando por e^3, obtemos a série de Taylor de e^x em torno de 3:
e^x = e^3 sumn=0^infty (x-3)^nn!

Resposta

e^x = sumn=0^infty e^3 ,(x-3)^nn!

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