Encontre a solução geral das EDO’s.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 2y' + y = e^t1+t^2
O conteúdo necessário inclui: solução da equação homogênea associada e método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo, a solução geral homogênea é
yh = C1 e^t + C2,t,e^t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros tomamos as soluções fundamentais
y1 = e^t, y2 = t,e^t
O wronskiano é
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^tl(e^t + t,e^tr)-e^t,(t,e^t) = e^2t ]

Passo 4

Chamando f(t)=dfrace^t1+t^2, as fórmulas de variação de parâmetros dão
u1' = -f(t),y2W = -e^t1+t^2,t,e^te^2t = -t1+t^2,
u2' = f(t),y1W = e^t1+t^2,e^te^2t = 11+t^2

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = integral -t1+t^2,dt = -12lnl(1+t^2r),
u2 = integral 11+t^2,dt = arctan(t)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = -12lnl(1+t^2r),e^t + arctan(t),t,e^t = e^tl(t,arctan(t)-tfrac12ln(1+t^2)r)
Assim, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2,t,e^t + e^tl(t,arctan(t)-tfrac12ln(1+t^2)r)

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