Ache o simétrico de P em relação ao plano \pi, nos casos seguintes:
P=(1,1,1), \quad \pi: 4 x-2 y+3 z=0

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico de P=(1,1,1) em relação ao plano \pi de equação
4x - 2y + 3z = 0.
O conteúdo aqui é reflexão de um ponto em um plano 3D, que se obtém projetando ortogonalmente P sobre o vetor normal ao plano e “espelhando” em seguida.

Passo 2

Escrevendo a equação do plano na forma ax+by+cz+d=0, temos
a=4,\quad b=-2,\quad c=3,\quad d=0.
Logo o vetor normal é
\mathbf{n} = (4,\,-2,\,3).
Calculamos
\mathbf{n}\cdot P = 4\cdot1 + (-2)\cdot1 + 3\cdot1 = 5,
\|\mathbf{n}\|^2 = 4^2 + (-2)^2 + 3^2 = 29.

Passo 3

A fórmula do simétrico P' de P em relação a \pi é
P' \;=\; P \;-\;2\,\frac{\mathbf{n}\cdot P + d}{\|\mathbf{n}\|^2}\,\mathbf{n}.

Passo 4

Substituindo os valores obtidos:
P' = (1,1,1) - 2\,\frac{5}{29}\,(4,-2,3)
P' = \Bigl(1 - \tfrac{40}{29},\;1 + \tfrac{20}{29},\;1 - \tfrac{30}{29}\Bigr)
P' = \Bigl(-\tfrac{11}{29},\;\tfrac{49}{29},\;-\tfrac{1}{29}\Bigr).

Resposta

O ponto simétrico é
P' = \Bigl(-\tfrac{11}{29},\;\tfrac{49}{29},\;-\tfrac{1}{29}\Bigr).

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