Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{5}=\frac{z+2}{5}, \quad s: x=\frac{y-2}{2}=1-z

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3: r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{5}=\frac{z+2}{5} e s: x=\frac{y-2}{2}=1-z.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para estudar posição relativa de duas retas, precisamos (1) obter parametrizações, (2) comparar diretores para ver se são paralelas, e (3) buscar interseção caso não sejam paralelas.

Passo 2

Parametrizamos r. Seja t o parâmetro tal que
\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{5}=\frac{z+2}{5}=t.
Então
x=1+2t,\quad y=5+5t,\quad z=-2+5t.
Logo um ponto em r é A=(1,5,-2) e o vetor diretor é
\vec v_r=(2,5,5).

Passo 3

Parametrizamos s. Seja u o parâmetro tal que
x=u,\quad u=\frac{y-2}{2},\quad u=1-z.
Dessas igualdades obtemos
y=2u+2,\quad z=1-u,
ou seja
(x,y,z)=(0,2,1)+u\,(1,2,-1).
Um ponto em s é B=(0,2,1) e o vetor diretor é
\vec v_s=(1,2,-1).

Passo 4

Verificamos se são paralelas: comparamos \vec v_r e \vec v_s. Buscamos \lambda tal que
(2,5,5)=\lambda\,(1,2,-1).
Isso daria três equações:
2=\lambda,\quad5=2\lambda,\quad5=-\lambda.
Não há \lambda que satisfaça todas simultaneamente. Logo não são paralelas.

Passo 5

Como não são paralelas, testamos interseção: resolvemos
(1,5,-2)+t\,(2,5,5)=(0,2,1)+u\,(1,2,-1).
Do sistema
  1. 1+2t=u
  2. 5+5t=2u+2
  3. -2+5t=1-u,
    da 1ª equação u=1+2t. Substituindo na 2ª vem 5+5t=2(1+2t)+2\Rightarrow t=-1,u=-1. Mas na 3ª teríamos -2+5(-1)=-7\neq1-(-1)=2. Não há solução comum; não se intersectam.

Resposta

As retas r e s são reversas (não paralelas e não se interceptam).

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