Ache o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos seguintes casos:
P=(0,2,1), \quad r: \vec{X}=(1,0,1)+\lambda(0,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico de P=(0,2,1) em relação à reta
r:\; \vec X = (1,0,1) + \lambda\,(0,1,1).
Isso é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos usar o fato de que o simétrico P' de P em relação à reta passa pelo pé da perpendicular H de P sobre r, e vale
P' = 2H - P.

Passo 2

Identificamos o ponto A=(1,0,1) e o vetor diretor v=(0,1,1). O pé H tem a forma
H = A + t\,v
com
t = \frac{(P - A)\cdot v}{v\cdot v}.
Calculemos P - A = (0-1,\,2-0,\,1-1) = (-1,2,0),
(P-A)\cdot v = (-1)\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1 = 2, \quad v\cdot v = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2,
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t = \frac{2}{2} = 1.

Passo 3

Substituindo t=1 em H = A + t\,v, obtemos
H = (1,0,1) + 1\,(0,1,1) = (1,1,2).

Passo 4

O simétrico P' obedece
P' = 2H - P.
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P' = 2\,(1,1,2) - (0,2,1) = (2,2,4) - (0,2,1) = (2,0,3).

Resposta

O ponto simétrico de P em relação à reta r é \,(2,0,3).

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