Ache o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos seguintes casos:
P=(0,0,1), \quad r:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0 \\\ x+y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico de P=(0,0,1) em relação à reta r definida pela interseção dos planos
x - y + z = 0
x + y + z = 0.
Para resolver, vamos encontrar uma descrição paramétrica de r, depois calcular o pé da perpendicular de P em r por projeção vetorial e, por fim, usar a relação entre o pé e o simétrico.

Passo 2

Encontrar um ponto A\) em \(r\) e o vetor diretor \(\mathbf{v}\) de \(r\). Resolvendo o sistema \[\begin{cases} x - y + z = 0,\\\ x + y + z = 0, \end{cases}
subtraindo as equações obtemos -2y=0\Rightarrow y=0\] e então \(x+z=0\Rightarrow z=-x. Tomando x=1, um ponto de r é
A=(1,0,-1).
Os vetores normais aos planos são \mathbf{n}_1=(1,-1,1) e \mathbf{n}_2=(1,1,1). O vetor diretor de r é
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = (-1,0,1).

Passo 3

Calcular o pé da perpendicular H de P em r usando projeção de \overrightarrow{AP} em \mathbf{v}.
Temos
\overrightarrow{AP} = P - A = (0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2),
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=(-1)^2+0^2+1^2=2, \quad \overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{v}=(-1)(-1)+0\cdot0+2\cdot1=3.
A projeção de \overrightarrow{AP} em \mathbf{v} é
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\overrightarrow{AP}) =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{v} =\frac{3}{2}(-1,0,1)=\bigl(-\tfrac32,0,\tfrac32\bigr).
Logo
H = A + \mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\overrightarrow{AP}) =\Bigl(1,0,-1\Bigr)+\Bigl(-\tfrac32,0,\tfrac32\Bigr) =\Bigl(-\tfrac12,0,\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Determinar o simétrico P' de P em relação a r. Como H é o ponto médio de PP', temos
P' = 2H - P =2\Bigl(-\tfrac12,0,\tfrac12\Bigr) - (0,0,1) =(-1,0,1) - (0,0,1) =(-1,0,0).

Resposta

P'=(-1,0,0).

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