Ache o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos seguintes casos: P=(0,0,1), \quad r:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0 \\\ x+y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede o ponto simétrico de P=(0,0,1) em relação à reta r definida pela interseção dos planos
x - y + z = 0
x + y + z = 0.
Para resolver, vamos encontrar uma descrição paramétrica de r, depois calcular o pé da perpendicular de P em r por projeção vetorial e, por fim, usar a relação entre o pé e o simétrico.
Passo 2
Encontrar um ponto A\) em \(r\) e o vetor diretor \(\mathbf{v}\) de \(r\).
Resolvendo o sistema
\[\begin{cases} x - y + z = 0,\\\ x + y + z = 0, \end{cases}
subtraindo as equações obtemos -2y=0\Rightarrow y=0\] e então \(x+z=0\Rightarrow z=-x. Tomando x=1, um ponto de r é
A=(1,0,-1).
Os vetores normais aos planos são \mathbf{n}_1=(1,-1,1) e \mathbf{n}_2=(1,1,1). O vetor diretor de r é