Dados os planos:
r_{1}: x-y+z+1=0, \quad r_{2}: x+y-z-1=0, \quad r_{3}: x+y+2 z=0
ache uma equação do plano que contém r_{1} \cap r_{2} e é perpendicular a r_{3}.

Passo 1

O enunciado dá três planos
r_{1}:x - y + z + 1 = 0,\quad r_{2}:x + y - z - 1 = 0,\quad r_{3}:x + y + 2z = 0
e pede um plano que contenha a reta r_{1}\cap r_{2} e seja perpendicular a r_{3}.
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3, uso de combinações lineares de equações de plano e produto escalar de normais.

Passo 2

Uma condição clássica é que todo plano que contém a reta r_{1}\cap r_{2} pode ser escrito como combinação
\alpha\,(x - y + z + 1)\;+\;\beta\,(x + y - z - 1)\;=\;0,
com (\alpha,\beta)\neq(0,0).
O vetor normal desse plano é
\mathbf{n} \;=\;\alpha\,(1,-1,1)\;+\;\beta\,(1,1,-1).

Passo 3

Para que esse plano seja perpendicular a r_{3}, seu normal \mathbf{n} deve ser ortogonal ao normal de r_{3}, que é \mathbf{n}_{3}=(1,1,2).
Logo impomos
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{3} =\alpha\,(1,-1,1)\cdot(1,1,2) +\beta\,(1,1,-1)\cdot(1,1,2) =0.
Calculando cada produto: (1,-1,1)\cdot(1,1,2)=1-1+2=2 e (1,1,-1)\cdot(1,1,2)=1+1-2=0.
Portanto a condição vira
2\alpha + 0\cdot\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 0.

Passo 4

Daí \alpha=0 e \beta\neq0. Isso mostra que o plano procurado é, a menos de escala, exatamente
x + y - z - 1 = 0,
que é o próprio r_{2}. Verificamos que r_{2} contém r_{1}\cap r_{2} e seu normal (1,1,-1) é ortogonal a (1,1,2).

Resposta

x + y - z - 1 = 0.

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