Ache a solução geral da equação dada.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem$ (e{t}-e{-t})\frac{dy}{dt}=y^{2} $. O conteúdo é EDO separável e vamos precisar usar a expressão (e^t-e^-t)dydt=y^2 e a integral de e^t-e^-t=2sinh t.

Passo 2

Separa variáveis: colocamos todos os termos com y de um lado e os de t do outro. Assim fica
1y^2,dy=1e^t-e^-t,dt

Passo 3

Integração dos dois lados: calculamos
integral1y^2,dy=integral1e^t-e^-t,dt
No lado esquerdo
integral y^-2,dy=-1y+C1

Passo 4

Para o lado direito, usamos e^t-e^-t=2sinh t e escrevemos
integraldte^t-e^-t=12integralcsch,t,dt
Sabendo que
integralcsch,t,dt=lnl|tanh(t/2)r|+C2
resulta
integraldte^t-e^-t=12lnl|tanh(t/2)r|+C2

Passo 5

Montamos a igualdade das integrais e juntamos constantes:
-1y=12lnl|tanh(t/2)r|+C
Isolando y e redefinindo C para simplificar, obtemos
y(t)=2,C-lnl|tanh(t/2)r|,

Resposta

A solução geral é y(t)=dfrac2C-lnlverttanh(t/2)rvert, onde C é constante arbitrária.

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