Para cada uma das séries abaixo, determine os valores de x para os quais a série converge. Em caso de convergência, calcule a soma da série. (Dica: cada série tem a forma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica sum a r^n converge se e somente se |r|<1, e sua soma é a1-r.)
sumn=1^infty(x-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de $ x $ a série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $ converge. Se der convergência, também precisamos calcular a soma dessa série. O conteúdo aqui é sobre séries geométricas, e vamos usar a regra de que uma série geométrica $ \sum a r^{n} $ converge se e somente se $ |r| < 1 $. Além disso, quando converge, a soma é dada por $ \frac{a}{1 - r} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série geométrica. Na série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $, podemos ver que cada termo é da forma $ a r^{n} $.
Aqui, $ a $ é o primeiro termo da série quando $ n = 1 $, ou seja, $ a = (x - 4)^{1} = x - 4 $.
E $ r $ é a razão da série, que nesse caso também é $ r = x - 4 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição de convergência para séries geométricas: $ |r| < 1 $.
Substituindo $ r $ por $ x - 4 $:
|r| < 1

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $:
x
Isso significa que a distância entre $ x $ e 4 é menor que 1. Então:
|x - 4| < 1
Agora, somamos 4 em todas as partes da desigualdade:
x
-1 < x - 4 < 1

Passo 5

Então, a série converge para valores de $ x $ entre 3 e 5. Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge.
A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
x
Onde $ a = x - 4 $ e $ r = x - 4 $.

Passo 6

Substituindo $ a $ e $ r $ na fórmula:
a
Simplificando o denominador:
r
S = x - 41 - (x - 4)

Resposta

A série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $ converge para todo $ x $ no intervalo $ 3 < x < 5 $, e a soma da série nesse intervalo é $ S = \frac{x - 4}{5 - x} $.

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