Para cada uma das séries abaixo, determine os valores de
para os quais a série converge. Em caso de convergência, calcule a soma da série. (Dica: cada série tem a forma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica
converge se e somente se
, e sua soma é
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de $ x $ a série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $ converge. Se der convergência, também precisamos calcular a soma dessa série. O conteúdo aqui é sobre séries geométricas, e vamos usar a regra de que uma série geométrica $ \sum a r^{n} $ converge se e somente se $ |r| < 1 $. Além disso, quando converge, a soma é dada por $ \frac{a}{1 - r} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série geométrica. Na série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $, podemos ver que cada termo é da forma $ a r^{n} $.
Aqui, $ a $ é o primeiro termo da série quando $ n = 1 $, ou seja, $ a = (x - 4)^{1} = x - 4 $.
E $ r $ é a razão da série, que nesse caso também é $ r = x - 4 $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição de convergência para séries geométricas: $ |r| < 1 $.
Substituindo $ r $ por $ x - 4 $:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $:
Isso significa que a distância entre $ x $ e 4 é menor que 1. Então:
Agora, somamos 4 em todas as partes da desigualdade:
Passo 5
Então, a série converge para valores de $ x $ entre 3 e 5. Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge.
A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
Onde $ a = x - 4 $ e $ r = x - 4 $.
Passo 6
Substituindo $ a $ e $ r $ na fórmula:
Simplificando o denominador:
Resposta
A série $ \sum_{n=1}{\infty}(x-4){n} $ converge para todo $ x $ no intervalo $ 3 < x < 5 $, e a soma da série nesse intervalo é $ S = \frac{x - 4}{5 - x} $.