Ache a solução geral da equação dada.

Passo 1

Estamos com uma equação diferencial de primeira ordem, não linear, dada por
yln t ,=, dydt(y+1t)^2
O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar reescrever em forma dy/dt = f(y)g(t) para isolar y de um lado e t de outro.

Passo 2

Primeiro a gente isola dy/dt. Dividindo ambos os lados por ((y+1)/t)^2, temos
dydt = yln t ;t^2(y+1)^2 = y,t^2ln t(y+1)^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis, passando tudo que depende de y para o lado esquerdo e tudo que depende de t para o lado direito:
(y+1)^2y,dy = t^2ln t,dt

Passo 4

Integramos agora o lado esquerdo. Note que
(y+1)^2y = y^2 + 2y + 1y = y + 2 + 1y
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integral (y+1)^2y,dy = integral l(y + 2 + 1yr)dy = y^22 + 2y + ln|y| + C1

Passo 5

Agora integramos o lado direito por partes. Seja u=ln t e dv=t^2dt. Então du=dt/t e v=t^3/3. Temos
integral t^2ln t,dt = t^33ln t - integral t^33cdot1t,dt = t^33ln t - t^39 + C2

Passo 6

Juntando as integrais e colocando uma única constante C=C2- C1, ficamos com a solução geral implícita:
y^22 + 2y + ln|y| = t^33ln t - t^39 + C

Resposta

y^22 + 2y + ln|y| = t^33ln t - tfract^39 + C

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