Ache a solução geral da equação dada.
d yd t=e^3 t+2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dydt=e^3t+2y. O conteúdo é de equações separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis levando tudo que depende de y para o lado de dy e tudo que depende de t para o lado de dt. Assim, escrevemos
e^-2y,dy=e^3t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo,
integral e^-2y,dy=-tfrac12e^-2y+C1
Do lado direito,
integral e^3t,dt=tfrac13e^3t+C2

Passo 4

Igualando as integrais e juntando as constantes em uma única constante C, temos
-tfrac12e^-2y=tfrac13e^3t+C
Multiplicamos por -2) para isolar e^-2y:
e^-2y=-tfrac23e^3t+C'

Passo 5

Aplicamos logaritmo para resolver em função de y:
-2y=lnl(C'-tfrac23e^3tr)
y=-tfrac12lnl(C'-tfrac23e^3tr)
onde C' é constante arbitrária. A expressão acima é a solução geral da equação diferencial separável dada.

Resposta

y(t)=-tfrac12lnl(C-tfrac23e^3tr), com constante arbitrária C.

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