Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série sum an só pode convergir se lim n infty an=0.)
sumn=1^infty cos (n pi)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série sumn=1^infty cos (n pi) e precisamos mostrar que ela é divergente. Para isso, vamos usar um critério importante: uma série pode convergir somente se o limite do termo geral, limn infty an, for igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é an = cos(n pi). Sabemos que cos(n pi) alterna entre 1 e -1 conforme o valor de n:
  • Se n é par, cos(n pi) = 1.
  • Se n é ímpar, cos(n pi) = -1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando n tende ao infinito:
limn infty cos(n pi)
Como cos(n pi) oscila entre 1 e -1 indefinidamente, esse limite não existe. Isso significa que o termo geral não está se aproximando de zero.

Passo 4

De acordo com o critério mencionado no Passo 1, para a série sum an convergir, é necessário que limn infty an = 0. No nosso caso, esse limite não é zero, então a série não satisfaz a condição necessária para convergir.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty cos(n pi) é divergente.

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