Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série
só pode convergir se
.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série
e precisamos mostrar que ela é divergente. Para isso, vamos usar um critério importante: uma série pode convergir somente se o limite do termo geral,
, for igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme o valor de
:
- Se
é par, . - Se
é ímpar, .
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Como
oscila entre 1 e -1 indefinidamente, esse limite não existe. Isso significa que o termo geral não está se aproximando de zero.
Passo 4
De acordo com o critério mencionado no Passo 1, para a série
convergir, é necessário que
. No nosso caso, esse limite não é zero, então a série não satisfaz a condição necessária para convergir.
Resposta
Portanto, a série
é divergente.