Ache a solução geral da equação dada.
e^t y d yd t=e^-y+e^-2 t-y

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem não-linear:
Queremos achar a solução geral da equação
e^tydydt=e^-y+e^-2t-y
Isso é conteúdo de EDOs separáveis e vamos usar justamente separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, isolamos dydt dividindo ambos os lados por e^t y:
dydt=e^-y+e^-2t-ye^t y
Isso mostra que podemos separar as variáveis.

Passo 3

Para separar, note que se multiplicarmos a equação por e^y e^-t, obtemos
ye^ydydt=e^-t(1+e^-2t)=e^-t+e^-3t
Agora multiplicamos por dt e ficamos com tudo em forma separável:
ye^y,dy=(e^-t+e^-3t),dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral ye^y,dy=integrall(e^-t+e^-3tr),dt

Passo 5

Calculamos as primitivas:
integral ye^y,dy=(y-1)e^y+C1,
integral e^-tdt=-e^-t,
integral e^-3tdt=-tfrac13e^-3t
Logo
(y-1)e^y=-e^-t-tfrac13e^-3t+C2

Passo 6

Renomeando a constante geral para C e passando os termos para um lado, a forma mais limpa da solução implícita é
(y-1)e^y+e^-t+tfrac13e^-3t=C

Resposta

(y-1)e^y+e^-t+tfrac13e^-3t=C

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