Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t+y=e^3 t

Passo 1

Estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem: dydt + y = e^3 t. Vamos usar os conceitos de equações diferenciais lineares e fator integrante para encontrar a solução geral e determinar o maior intervalo onde essa solução está definida.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma dydt + P(t)y = Q(t), onde P(t) = 1 e Q(t) = e^3 t. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1 dt = e^t. Multiplicamos ambos os lados da equação original por mu(t):
e^t dydt + e^t y = e^t e^3 t = e^4 t

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto e^t y, ou seja:
ddt (e^t y) = e^4 t
Integrando ambos os lados:
e^t y = integral e^4 t dt = e^4 t4 + C

Passo 5

Isolando y, temos:
y = e^4 t4 e^t + Ce^t = e^3 t4 + C e^-t

Resposta

A solução geral é y(t) = e^3 t4 + C e^-t, definida para todo t in R.

Exercícios relacionados