Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
14 x y^prime+(1+x) y=e^-x sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
x,y'+(1+x),y = e^-xsin2x,
além de indicar o maior intervalo I em que essa solução está definida. Para isso vamos reescrever em forma padrão, usar fator integrador e depois discutir o domínio.

Passo 2

Dividindo a equação por x (assumindo já xneq0), obtemos a forma padrão
y' + underbracel(1x + 1r)P(x),y = underbracee^-xsin2xxQ(x)

Passo 3

O fator integrador é
mu(x) = expl(!!integral P(x),dxr) = expl(!!integrall(tfrac1x+1r)dxr) = exp(ln|x| + x) = |x|e^x
Em cada intervalo de sinal constante de x podemos tomar mu(x)=x e^x (para x>0) ou mu(x)=-x e^x (para x<0). Vamos usar mu(x)=x e^x e comentar o caso x<0 ao final.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
ddxl(y,mu(x)r) ;=;mu(x),Q(x);=;x e^x;e^-xsin2xx ;=;sin2x
Agora integramos ambos os lados:
integral ddxl(y,x e^xr),dx = integral sin2x,dx Longrightarrow y,x e^x = -tfrac12cos2x + C

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral
y(x) = -tfrac12cos2x + Cx e^x = -cos2x2,x,e^x ;+;Cx,e^x,
válida em qualquer intervalo onde x não se anule e onde xmapsto x e^x não muda de sinal. Para x<0 a única diferença é que o fator integrador seria -x e^x, o que acaba absorvido pela constante C.

Passo 6

Como a equação é singular em x=0, a solução geral só pode ser definida em intervalos que não contenham zero. Os maiores intervalos de definição são
I=(0,infty)ou I=(-infty,0)

Resposta

A solução geral é
y(x)=-cos2x2,x,e^x+Cx,e^x,
definida em qualquer intervalo onde xneq0, por exemplo I=(0,infty) (ou simetricamente I=(-infty,0)).

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