Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
além de indicar o maior intervalo em que essa solução está definida. Para isso vamos reescrever em forma padrão, usar fator integrador e depois discutir o domínio.
Passo 2
Dividindo a equação por (assumindo já ), obtemos a forma padrão
Em cada intervalo de sinal constante de x podemos tomar mu(x)=x e^x (para x>0) ou mu(x)=-x e^x (para x<0). Vamos usar mu(x)=x e^x e comentar o caso x<0 ao final.
válida em qualquer intervalo onde x não se anule e onde xmapsto x e^x não muda de sinal. Para x<0 a única diferença é que o fator integrador seria -x e^x, o que acaba absorvido pela constante C.
Passo 6
Como a equação é singular em x=0, a solução geral só pode ser definida em intervalos que não contenham zero. Os maiores intervalos de definição são
I=(0,infty)ou I=(-infty,0)
Resposta
A solução geral é
y(x)=-cos2x2,x,e^x+Cx,e^x,
definida em qualquer intervalo onde xneq0, por exemplo I=(0,infty) (ou simetricamente I=(-infty,0)).