Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
12 (1+x) d yd x-x y=x+x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
(1+x),dydx - x,y = x + x^2
O que queremos é achar a solução geral y(x) e determinar o maior intervalo I onde ela está definida. Para isso vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
Divide-se tudo por 1+x, obtendo
dydx - x1+x,y = x + x^21+x
Logo
P(x) = -x1+x, Q(x) = x + x^21+x = x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(-integral x1+x,dxr)
Note que
x1+x = 1 - 11+x,
então
-integral x1+x,dx = -integral!1,dx + integral 11+x,dx = -x + lnlvert1+xrvert
Assim
mu(x) = e^-x,(1+x)
Observe que tudo faz sentido só se 1+xneq0.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
e^-x(1+x),dydx - e^-xx,y = x,e^-x(1+x)
O lado esquerdo é a derivada de mu y:
ddxl[y,e^-x(1+x)r] = x(1+x)e^-x
Integramos ambos os lados:
y,e^-x(1+x) = integral x(1+x)e^-x,dx
Para integrar integral(x^2+x)e^-xdx usamos partes ou tabela e encontramos
integral x(1+x)e^-x,dx = -e^-x(x^2 + 3x +3) + C

Passo 5

Voltando a y,
y,e^-x(1+x) = -e^-x(x^2 + 3x +3) + C,
logo
y(1+x) = -(x^2 + 3x +3) + C,e^x
Portanto a solução geral é
y(x) = -x^2 + 3x +31+x ;+;C,e^x1+x
Podemos escrever ainda
y(x) = -,x - 2 ;-;11+x ;+;C,e^x1+x

Passo 6

Como o fator integrante e a equação original exigem 1+xneq0, o maior intervalo em que a solução geral vale é qualquer intervalo máximo sem passar por x=-1. Em particular podemos escolher
I = (-infty,-1)ou I = (-1,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x) = -x^2 + 3x +31+x + C,e^x1+x,
válida em I onde 1+xneq0, ou seja em cada intervalo
(-infty,-1)ou(-1,infty)

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