Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
O que queremos é achar a solução geral
e determinar o maior intervalo
onde ela está definida. Para isso vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
Divide-se tudo por
, obtendo
Logo
Passo 3
O fator integrante é
Note que
então
Assim
Observe que tudo faz sentido só se
.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
temos
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integramos ambos os lados:
Para integrar
usamos partes ou tabela e encontramos
Passo 5
Voltando a
,
logo
Portanto a solução geral é
Podemos escrever ainda
Passo 6
Como o fator integrante e a equação original exigem
, o maior intervalo em que a solução geral vale é qualquer intervalo máximo sem passar por
. Em particular podemos escolher
Resposta
A solução geral é
válida em
onde
, ou seja em cada intervalo