Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
16 y d x=(y e^y-2 x) d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,dx = l(y,e^y - 2xr),dy
e pede a sua solução geral e o maior intervalo I em que essa solução está definida.
Conteúdo: reconhecer que se trata de uma equação de primeira ordem linear em x como função de y.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão de equação linear dxdy+P(y),x=Q(y). Dividindo ambos os lados por y (supondo yneq0), temos
dxdy - 2y,x = e^y,
Ou seja, P(y)=-tfrac2y e Q(y)=e^y.

Passo 3

Encontramos o fator integrante
mu(y)=expl(integral P(y),dyr) =expl(integral -2y,dyr) =expl(-2ln|y|r) =y^-2,

Passo 4

Multiplicamos a equação pelo fator integrante y^-2 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
y^-2dxdy-2y^3x =ddyl(x,y^-2r) ;=;y^-2e^y,
Integramos em y:
x,y^-2 =integral y^-2e^y,dy + C

Passo 5

Para calcular integral y^-2e^ydy, fazemos integração por partes três vezes ou observamos que é equivalente a integral y^2e^ydy trocando yto -y com cuidado. Melhor, fazemos diretamente por partes:
integral y^2e^ydy =e^y(y^2-2y+2)+C
Voltando ao nosso caso com y^-2, multiplicamos em ambos os lados por y^2 e obtemos a solução geral no formato implícito:
x,y^2 = e^y(y^2-2y+2) + C

Resposta

A solução geral é
x,y^2 - e^yl(y^2-2y+2r)=C,
onde C é constante arbitrária.
O maior intervalo de definição para a solução é qualquer intervalo que não contenha y=0, por exemplo
I = (0,infty) ou I = (-infty,0)

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