Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a sua solução geral e o maior intervalo
em que essa solução está definida.
Conteúdo: reconhecer que se trata de uma equação de primeira ordem linear em como função de
.
Conteúdo: reconhecer que se trata de uma equação de primeira ordem linear em
Passo 2
Escrevemos em forma padrão de equação linear
. Dividindo ambos os lados por
(supondo
), temos
Ou seja,
e
.
Passo 3
Encontramos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação pelo fator integrante
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
Integramos em
:
Passo 5
Para calcular
, fazemos integração por partes três vezes ou observamos que é equivalente a
trocando
com cuidado. Melhor, fazemos diretamente por partes:
Voltando ao nosso caso com
, multiplicamos em ambos os lados por
e obtemos a solução geral no formato implícito:
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.
O maior intervalo de definição para a solução é qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo