Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
(4) V=a x i-b y j+c t k

Passo 1

Temos o campo de velocidade
vec V(x,y,z,t)=a,x,hatimath ;-;b,y,hatjmath;+;c,t,hat k
e queremos calcular os três quantidades clássicas em Mecânica dos Fluidos:
– dilatação volumétrica nablacdotvec V,
– vorticidade nablatimesvec V,
– aceleração material Dvec VDt=partialvec Vpartial t+(vec Vcdotnabla)vec V.

Passo 2

Calcular a dilatação volumétrica
nablacdotvec V =partialpartial x(a,x) +partialpartial y(-b,y) +partialpartial z(c,t) =a ;-;b ;+;0 =a-b

Passo 3

Calcular a vorticidade
nablatimesvec V = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz a,x & -b,y & c,t
Componentes:
omegax=partialy(c,t)-partialz(-b,y)=0-0=0, omegay=partialz(a,x)-partialx(c,t)=0-0=0, omegaz=partialx(-b,y)-partialy(a,x)=0-0=0
Logo
nablatimesvec V=vec0,
campo irrotacional.

Passo 4

Calcular a aceleração material
Dvec VDt =partialvec Vpartial t+(vec Vcdotnabla)vec V
  1. derivada local em t:
partialvec Vpartial t =partialpartial tl(a,x,hatimath -b,y,hatjmath +c,t,hat kr) =c,hat k
  1. termo convectivo (vec Vcdotnabla)vec V:
    – componente x:
a,x,partial (a,x)partial x +(-b,y)partial(a,x)partial y +(c,t)partial(a,x)partial z =a^2,x
– componente y:
a,x,partial(-b,y)partial x +(-b,y)partial(-b,y)partial y +(c,t)partial(-b,y)partial z =b^2,y
– componente z:
a,x,partial(c,t)partial x +(-b,y)partial(c,t)partial y +(c,t)partial(c,t)partial z =0
Somando-se os dois termos:
Dvec VDt =a^2,x,hatimath ;+;b^2,y,hatjmath;+;c,hat k

Resposta

Dilatação volumétrica:
nablacdotvec V = a - b
Vorticidade:
nablatimesvec V = vec 0
Aceleração material:
Dvec VDt = a^2,x,hatimath + b^2,y,hatjmath + c,hat k

Exercícios relacionados