Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
17 cos x d yd x+(sen x) y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial\r
17cos x,dydx+(sin x),y=1 \r
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos:\r
  • dividir por 17cos x (supondo cos xneq0),\r
  • escrever na forma padrão\r
    y'+P(x),y=Q(x),\r
  • usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por 17cos x obtemos\r
dydx+underbracesin x17cos xP(x),y =underbrace117cos xQ(x) \r
Logo\r
P(x)=tfrac117tan x, Q(x)=tfrac117sec x

Passo 3

O fator integrante é\r
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(tfrac117integraltan x,dxr) =expl(-tfrac117ln|cos x|r) =|cos x|^-1/17 \r
Em cada intervalo onde cos x mantém sinal, podemos usar\r
mu(x)=(cos x)^-1/17.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu dá\r
ddxl[mu(x),yr] =mu(x),Q(x) =(cos x)^-1/17,117cos x =117,(cos x)^-18/17 \r
Agora integramos:\r
mu(x),y =integral117,(cos x)^-18/17,dx +C \r
Voltando a y:\r
y(x) =(cos x)^1/17l[ C+117integral(cos x)^-18/17,dx r], \r
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

A solução geral está definida sempre que a divisão por cos x foi válida, i.e.\ em cada intervalo onde cos x neq 0. Os maiores intervalos conexos são
In = l(-tfracpi2 + npi,; tfracpi2 + npir), n in Z

Resposta

A solução geral é\r
boxed y(x)=(cos x)^1/17l[ C+tfrac117!integral(cos x)^-18/17,dx r], \r
definida em cada intervalo\r
In=(-tfracpi2+npi,;tfracpi2+npi), nin Z.

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