Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
18 cos ^2 x sen x d yd x+(cos ^3 x) y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
18cos^2x,sin x,dydx+cos^3x,y=1
e o maior intervalo I em que ela está definida.
Conteúdo: equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão y'+p(x)y=q(x), achar o fator integrante e integrar.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos por 18cos^2xsin x (onde definido), obtendo
y' + 118cot x,y = 118,sec^2x,csc x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral tfrac118cot x,dxr) =exp!l(tfrac118ln|sin x|r) =|sin x|^1/18
Multiplicando a equação padrão por mu, a parte esquerda fica
ddxl(sin^1/18x,yr)
e a parte direita fica
118,sin^-17/18xcos^2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
sin^1/18x,y =integral 118,sin^-17/18xcos^2x,dx + C
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y(x) =1sin^1/18xl(integral sin^-17/18x18,cos^2x,dx + Cr)

Passo 5

As funções cot x e sec^2x,csc x só são contínuas se sin xneq0 e cos xneq0. Portanto o maior intervalo em que a solução vale é qualquer subintervalo aberto sem zeros de sin x nem de cos x, por exemplo
I=(0,tfracpi2), (tfracpi2,pi), dots
Em geral,
Ik^1=(kpi,(k+tfrac12)pi) ou Ik^2=((k+tfrac12)pi,(k+1)pi), kinZ

Resposta

y(x) =1sin^1/18xl(integral sin^-17/18x18,cos^2x,dx + Cr),
com x em qualquer um dos intervalos
(kpi,(k+tfrac12)pi)ou((k+tfrac12)pi,(k+1)pi),;kinZ

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