Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
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Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI dydt-sin(t),y=2sin(t), com condição inicial y(tfracpi2)=1. É uma EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando na forma padrão dydt+p(t),y=q(t), identificamos p(t)=-sin(t) e q(t)=2sin(t).
O fator integrante é mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(-integralsin(t),dtr)=exp(cos(t)).

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
ddtl[exp(cos(t)),yr]=exp(cos(t))cdot2sin(t)

Passo 4

Integramos em relação a t. Para integral2sin(t)exp(cos(t)),dt fazemos u=cos(t), du=-sin(t),dt, gerando
2integralsin(t)exp(cos(t)),dt=-2integral e^u,du=-2e^u+C=-2exp(cos(t))+C

Passo 5

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exp(cos(t)),y=-2exp(cos(t))+CLongrightarrow y(t)=-2+Cexp(-cos(t))

Passo 6

Usando y(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, vem
1=-2+Cexp(0)implies C=3

Passo 7

Portanto, a solução do PVI é y(t)=-2+3exp(-cos(t)). O fator integrante exp(cos(t)) é contínuo e não nulo em todo R, então a solução está definida no maior intervalo possível, que é o conjunto dos reais.

Resposta

A solução do PVI é y(t)=-2+3exp(-cos(t)) e o maior intervalo de definição é R.

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