Ache uma solucad particular de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para achar uma solução particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica baseada no termo do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, observamos o lado direito da equação, que é
. Esse é um polinômio de primeiro grau. Com base nisso, vamos supor que a solução particular
também seja um polinômio do mesmo grau. Então, vamos escrever:
onde
e
são constantes que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Resposta
A solução particular é