Ache uma solucad particular de
y^prime prime+3 y^prime+2 y=t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para achar uma solução particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica baseada no termo do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, observamos o lado direito da equação, que é yp = At + B . Esse é um polinômio de primeiro grau. Com base nisso, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau. Então, vamos escrever:
onde e são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de yp' = A :
yp'' = 0
0 + 3A + 2(At + B) = t + 1
Substituindo 2A t + (3A + 2B) = t + 1 , e na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 2A = 1 , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
3A + 2B = 1
A = 12
Resolvendo a primeira equação:
3(12) + 2B = 1 implies 32 + 2B = 1 implies 2B = -12 implies B = -14
Substituindo na segunda equação:

Resposta

A solução particular é
yp = 12 t - 14

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