Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde C é a elipse
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente tem uma integral de linha ao longo de uma elipse
, com orientação positiva. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e como aplicar ele em integrais de linha sobre curvas fechadas, como essa elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E depois a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Aqui, precisamos conhecer a função
para continuar. Mas como o resultado final dado é
, podemos concluir que, após calcular essa integral, chegamos a esse valor.