Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação ( para fora) positiva.
, S é a parte do cone
abaixo do plano
orientação para baixo.
Respostas: a)
b)
c)
Respostas: a)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela parte do cone
abaixo de
, com orientação para baixo. Isso é um caso de integral de superfície de um campo vetorial. Para resolver, vamos parametrizar a superfície, calcular o vetor área orientado e integrar o produto escalar.
Passo 2
Para parametrizar o cone usamos coordenadas polares no plano
. Definimos
com domínio
,
.
Calculamos os vetores tangentes
Calculamos os vetores tangentes
O produto vetorial dá
Como sua componente
é positiva, esse normal aponta para cima. Precisamos do normal para baixo, então invertemos o sinal:
Passo 3
Substituímos
na parametrização:
,
,
. Então
O produto escalar é
Passo 4
Agora integramos em
e
:
Passo 5
Portanto, o fluxo de
através da parte do cone orientada para baixo é
.