Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S para o campo vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação ( para fora) positiva.
F=x i+y j+z^4 k, S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 abaixo do plano z=1 com orientação para baixo.
Respostas: a) 713 / 180 b) -1 / 6 c) pi / 3

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F = x, i + y, j + z^4, k pela parte do cone z=raizx^2+y^2 abaixo de z=1, com orientação para baixo. Isso é um caso de integral de superfície de um campo vetorial. Para resolver, vamos parametrizar a superfície, calcular o vetor área orientado e integrar o produto escalar.

Passo 2

Para parametrizar o cone usamos coordenadas polares no plano xy. Definimos
R(r,theta) = (x,y,z) = (rcostheta,;rsintheta,;r),
com domínio 0<= r<=1, 0<=theta<2pi.
Calculamos os vetores tangentes
Rr = (costheta,;sintheta,;1), Rtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O produto vetorial dá
Rrtimes Rtheta = (-rcostheta,;-rsintheta,;r)
Como sua componente z é positiva, esse normal aponta para cima. Precisamos do normal para baixo, então invertemos o sinal:
n,dS = (rcostheta,;rsintheta,;-r),dr,dtheta

Passo 3

Substituímos vec F na parametrização: x=rcostheta, y=rsintheta, z=r. Então
vec F = (rcostheta,;rsintheta,;r^4)
O produto escalar é
vec Fcdot( n,dS) = (rcostheta)(rcostheta) + (rsintheta)(rsintheta) + (r^4)(-r),dr,dtheta = (r^2 - r^5),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r e theta:
integral duplaSvec Fcdot d S = integral0^2piintegral0^1(r^2 - r^5),dr,dtheta = 2pil[tfracr^33-tfracr^66r]0^1 = 2pil(tfrac13-tfrac16r) = tfracpi3

Passo 5

Portanto, o fluxo de vec F através da parte do cone orientada para baixo é pi/3.

Resposta

pi/3

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