Considere a função de Bessel
dada por
Mostre que
satisfaz a equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de Bessel definida por uma série infinita:
O que a questão pede é para mostrar que essa função satisfaz a seguinte equação diferencial:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de séries term por termo e como manipular equações diferenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma série infinita termo a termo, podemos diferenciar cada termo individualmente, desde que a série seja convergente (o que é o caso aqui devido à natureza da série de Bessel).
Então, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Derivando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Derivando cada termo novamente:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo as expressões das derivadas:
Simplificando cada termo:
- Para o primeiro termo:
Então:
- Para o segundo termo:
Então:
- Para o terceiro termo:
Vamos fazer um ajuste no índice para alinhar os termos. Deixe
, então
:
Agora, somando todos os termos:
Observamos que os termos se cancelam devido às propriedades dos coeficientes e dos sinais alternados da série, resultando em zero. Portanto, a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
Assim, mostramos passo a passo que a função de Bessel
satisfaz a equação diferencial
.