Ache a solução de cada Problema de Valor Inicial abaixo.
Passo 1
O problema é uma equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial y(0)=1. Precisamos reconhecer a forma padrão y’ + p(x)
y = q(x) e usar o fator integrante para resolver.
y = q(x) e usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Reescrevendo a equação original y’−y = 2x e^{2x} na forma y’ + (−1)y = 2x e^{2x}, identificamos p(x)=−1 e q(x)=2x e^{2x}.
Passo 3
O fator integrante μ(x) vem de μ(x)=e^{∫p(x)
dx}=e^{∫(−1)
dx}=e^{−x}.
dx}=e^{∫(−1)
dx}=e^{−x}.
Passo 4
Multiplicamos a equação por μ(x):
Passo 5
O lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y, ou seja,
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Para calcular
usamos integração por partes com u=2x, dv=e^{x}dx, obtendo
Passo 8
Logo,
Passo 9
Multiplicando por e^{x} temos
Passo 10
Usando a condição y(0)=1:
Passo 11
Substituindo C na solução geral chega-se a