Ache a solução de cada Problema de Valor Inicial abaixo.
y^prime-y=2 x e^2 x, y(0)=1

Passo 1

O problema é uma equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial y(0)=1. Precisamos reconhecer a forma padrão y’ + p(x)
y = q(x) e usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a equação original y’−y = 2x e^{2x} na forma y’ + (−1)y = 2x e^{2x}, identificamos p(x)=−1 e q(x)=2x e^{2x}.

Passo 3

O fator integrante μ(x) vem de μ(x)=e^{∫p(x)
dx}=e^{∫(−1)
dx}=e^{−x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por μ(x):
e^-xy'−e^-xy = 2x e^2xe^-x=2x e^x,

Passo 5

O lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y, ou seja,
ddx(e^-xy)=2x e^x

Passo 6

Integramos ambos os lados:
e^-xy=integral 2x e^xdx

Passo 7

Para calcular integral 2x e^xdx usamos integração por partes com u=2x, dv=e^{x}dx, obtendo
integral 2x e^xdx=2x e^x-2e^x+C

Passo 8

Logo,
e^-xy=2x e^x-2e^x+C

Passo 9

Multiplicando por e^{x} temos
y=2x e^2x-2e^2x+Ce^x

Passo 10

Usando a condição y(0)=1:
1=2·0·e^0-2e^0+Ce^0=-2+Cdaí C=3.

Passo 11

Substituindo C na solução geral chega-se a
y=2x e^2x-2e^2x+3e^x

Resposta

y=2x e^2x-2e^2x+3e^x

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