Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
integral0^1 14 x-1 d x.

Passo 1

Aqui a gente tem a integral imprópria integral0^1 dx4x-1, que é do tipo com singularidade no denominador. O conteúdo é integral imprópria e vamos precisar estudar o comportamento perto do ponto onde 4x-1=0, ou seja, x=1/4.

Passo 2

O integrando não está definido em x=1/4, então quebramos em duas integrais com limite:
integral0^1 dx4x-1 = integral0^1/4 dx4x-1 + integral1/4^1 dx4x-1
Cada uma dessas é tratada como limite perto de xto1/4.

Passo 3

Vamos analisar as duas:
Para a primeira parte, definimos tto1/4^- e usamos integral dx4x-1=tfrac14ln|4x-1|+C:
integral0^1/4 dx4x-1 = limtto1/4^- 14l[ln|4x-1|r]0^t = 14l(ln|4t-1| - ln|-1|r)
Quando tto1/4^-, temos 4t-1to0^- e então ln|4t-1|to -infty. Logo essa parte diverge para -infty.
Para a segunda parte, definimos sto1/4^+:
integral1/4^1 dx4x-1 = limsto1/4^+ 14l[ln|4x-1|r]s^1 = 14l(ln3 - ln|4s-1|r)
E ln|4s-1|to -infty, fazendo essa integral ir para +infty.
Como ambas as partes divergem, a integral original não converge.

Resposta

Divergente

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