(a) Mostre que para 0<|x| vale as seguintes desigualdades
cos (x)-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x com 0<|x|<π/2, temos as desigualdades
cos(x)−1 < (sen(x)/x)−1 < 0. O conteúdo principal é o comportamento das funções trigonométricas no intervalo (0,π/2), e vamos usar as desigualdades clássicas sen(x)<x e tan(x)>x, além de argumentos de monotonia via derivadas.

Passo 2

Vamos primeiro considerar o caso x em (0,π/2). A desigualdade (sen(x)/x)−1<0 equivale a sen(x)/x<1. Como x>0, basta usar a conhecida desigualdade sen(x)<x, que pode ser mostrada por comparação geométrica ou usando o fato de que a derivada de sen(x) em 0 é 1 e sua concavidade para x>0 faz sen(x) ficar abaixo da reta tangente. Logo, sen(x)/x<1 e, consequentemente, (sen(x)/x)−1<0.
Agora mostramos que (sen(x)/x)−1>cos(x)−1, ou seja sen(x)/x>cos(x). Como x>0, isso equivale a sen(x)>x·cos(x), ou tan(x)>x. Defina h(x)=tan(x)−x. Calculamos h’(x)=sec2(x)−1=tan2(x)>0 em (0,π/2), o que mostra que h é estritamente crescente. Como h(0)=0, segue que h(x)>0 para x>0, portanto tan(x)>x e assim sen(x)/x>cos(x).

Passo 3

Para concluir para todo x com 0<|x|<π/2, note que as funções cos(x) e sen(x)/x são pares (coseno é par e sen(x)/x também) e a desigualdade depende apenas de valores absolutos de x. Logo, o resultado vale tanto para x positivo quanto negativo.
Dessa forma, juntando as duas partes temos
cos(x)−1 < (sen(x)/x)−1 < 0, para todo x tal que 0<|x|<π/2.

Resposta

Para todo x com 0<|x|<π/2, vale
cos(x)-1

Exercícios relacionados