Quando a raiz é dupla a base de soluções fundamentais é
y_{1}(x)=e^{-2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{-2x}.
Portanto a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos Variação de Parâmetros para obter uma solução particular y_{p}\) da equação completa
\[y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=g(x),\qquad g(x)=\exp\!\bigl(-2/x\bigr).
Usamos as fórmulas padrão (para a forma y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)). Definimos funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que
Essas integrais não têm primitiva elementar simplificada em termos de funções elementares conhecidas, mas podemos manipular simbolicamente para obter uma forma útil para y_{p}. Observe a relação entre u_{1} e u_{2}: ao integrar por partes a integral de x e^{2x-2/x} podemos expressá-la em termos de u_{2}. Definindo
Para ser rigoroso com variáveis de integração, escolhemos primitivias com limites ou constantes convenientemente (essas constantes irão aparecer como parte das constantes da solução homogênea). Uma forma canônica é definir
I(s):=\int_{x_{0}}^{s} e^{2t-2/t}\,dt
para algum x_{0}>0 fixo (qualquer escolha serve), e então
y_{p}(x)=e^{-2x}\int_{x_{0}}^{x} I(s)\,ds.
Essa expressão dá uma solução particular válida; a escolha de x_{0} apenas desloca integrais adicionando termos que são solucion homogênea (absorvíveis em C_{1},C_{2}).
Passo 8
Finalmente escrevemos a solução geral como soma da homogênea com a particular encontrada:
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias e x_{0}>0 é um ponto base arbitrário (a mudança de x_{0} altera apenas as constantes C_{1},C_{2}). Esta é uma representação explícita da solução usando variação de parâmetros.