Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\exp (-2 x / \left.x^{2}\right) ; x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem e pede a solução usando o Método de Variação de Parâmetros. As informações são:
  • A equação é y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=\exp\!\bigl(-2/x\bigr), com x>0.
    Observação: simplifiquei -2x/x^{2} para -2/x, porque -2x/x^{2}=-2/x.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) usando variação de parâmetros (ou seja, obter y_h e um y_p particular e escrever a solução geral).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0.
Para isso formamos a equação característica. Se colocarmos y=e^{rx} então obtemos
r^{2}+4r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=-2 \text{ (raiz dupla)}.
Quando a raiz é dupla a base de soluções fundamentais é
y_{1}(x)=e^{-2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{-2x}.
Portanto a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos Variação de Parâmetros para obter uma solução particular y_{p}\) da equação completa \[y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=g(x),\qquad g(x)=\exp\!\bigl(-2/x\bigr).
Usamos as fórmulas padrão (para a forma y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)). Definimos funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
As derivadas u_{1}',u_{2}' satisfazem
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x). \end{cases}
Isto leva às fórmulas equivalentes
u_{1}'(x)=-\dfrac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\dfrac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)},
onde W(x)\] é o Wronskiano de \(y_{1},y_{2}.]

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W(x). As derivadas são
y_{1}(x)=e^{-2x},\quad y_{1}'(x)=-2e^{-2x},
y_{2}(x)=x e^{-2x},\quad y_{2}'(x)=e^{-2x}-2x e^{-2x}=e^{-2x}(1-2x).
Então
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{-2x}\cdot e^{-2x}(1-2x) - x e^{-2x}\cdot(-2e^{-2x}).
Fatorando e^{-4x}:
W(x)=e^{-4x}\bigl(1-2x+2x\bigr)=e^{-4x}.
Portanto W(x)=e^{-4x}, que é nunca zero para todo x, ótimo.]

Passo 5

Agora escrevemos u_{1}' e u_{2}' substituindo y_{1},y_{2},g,W:
u_{1}'(x)=-\dfrac{y_{2}(x)g(x)}{W(x)} =-\dfrac{x e^{-2x}\cdot e^{-2/x}}{e^{-4x}} =-x\,e^{2x-2/x},
u_{2}'(x)=\dfrac{y_{1}(x)g(x)}{W(x)} =\dfrac{e^{-2x}\cdot e^{-2/x}}{e^{-4x}} =e^{2x-2/x}.
Portanto
u_{2}(x)=\int e^{2x-2/x}\,dx, \qquad u_{1}(x)=-\int x\,e^{2x-2/x}\,dx.

Passo 6

Essas integrais não têm primitiva elementar simplificada em termos de funções elementares conhecidas, mas podemos manipular simbolicamente para obter uma forma útil para y_{p}. Observe a relação entre u_{1} e u_{2}: ao integrar por partes a integral de x e^{2x-2/x} podemos expressá-la em termos de u_{2}. Definindo
I(x):=\int e^{2x-2/x}\,dx \quad\text{(uma primitiva qualquer)},
temos u_{2}(x)=I(x). Para u_{1}(x),
u_{1}(x)=-\int x\,e^{2x-2/x}\,dx.
Fazendo integração por partes com a=x e db=e^{2x-2/x}\,dx (ou usando identidade), obtemos
\int x\,e^{2x-2/x}\,dx = x I(x) - \int I(x)\,dx.
Logo
u_{1}(x)=-x I(x) + \int I(x)\,dx.

Passo 7

Agora montamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
y_{p}(x)=\bigl(-x I(x)+\int I(x)\,dx\bigr)\,e^{-2x} + I(x)\cdot x e^{-2x}.
Observe que os termos com x I(x)e^{-2x} se cancelam:
-x I(x)e^{-2x} + x I(x)e^{-2x} = 0.
Portanto resta apenas
y_{p}(x)=e^{-2x}\int I(x)\,dx.
Reescrevendo com a definição de I:
y_{p}(x)=e^{-2x}\int\left(\int e^{2t-2/t}\,dt\right)dx.
Para ser rigoroso com variáveis de integração, escolhemos primitivias com limites ou constantes convenientemente (essas constantes irão aparecer como parte das constantes da solução homogênea). Uma forma canônica é definir
I(s):=\int_{x_{0}}^{s} e^{2t-2/t}\,dt
para algum x_{0}>0 fixo (qualquer escolha serve), e então
y_{p}(x)=e^{-2x}\int_{x_{0}}^{x} I(s)\,ds.
Essa expressão dá uma solução particular válida; a escolha de x_{0} apenas desloca integrais adicionando termos que são solucion homogênea (absorvíveis em C_{1},C_{2}).

Passo 8

Finalmente escrevemos a solução geral como soma da homogênea com a particular encontrada:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x} + e^{-2x}\int_{x_{0}}^{x}\!\left(\int_{x_{0}}^{s} e^{2t-2/t}\,dt\right)ds,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias e x_{0}>0 é um ponto base arbitrário (a mudança de x_{0} altera apenas as constantes C_{1},C_{2}). Esta é uma representação explícita da solução usando variação de parâmetros.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x}+e^{-2x}\displaystyle\int_{x_{0}}^{x}\!\Bigl(\displaystyle\int_{x_{0}}^{s} e^{2t-2/t}\,dt\Bigr)ds,\quad x>0

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