Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=exp (-2 x x^2 ) ; x>0

Passo 1

A EDO dada é y'' + 4y' + 4y = x^2 e^-2x para x>0. O conteúdo é equação linear de 2º ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar da solução homogênea e depois aplicar o método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos o polinômio característico r^2 + 4r + 4 = 0. Resolvendo, temos raiz dupla r = -2. Logo, as soluções fundamentais são y1(x) = e^-2x e y2(x) = x e^-2x, e a solução geral homogênea é yh = C1 e^-2x + C2 x e^-2x.

Passo 3

No método de variação de parâmetros, buscamos yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) e impomos o sistema
u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = 0, u1'(x)y1'(x) + u2'(x)y2'(x) = x^2 e^-2x
Aqui g(x)=x^2 e^-2x.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(y1,y2)=e^-2x & x e^-2x -2e^-2x & (1-2x)e^-2x=e^-4x(1-2x+2x)=e^-4x
As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -y2(x),g(x)W, u2' = y1(x),g(x)W
Substituindo, obtemos

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
ui
C1,C2
Como qualquer constante contida em K1=K2=0 pode ser absorvida em , vamos tomar .

Passo 6

A solução particular é
yp = u1 y1 + u2 y2 = -x^44e^-2x + x^33cdot x e^-2x = x^412e^-2x
Portanto, a solução geral da EDO é a soma de yh com yp.

Resposta

A solução geral é y(x)=C1 e^-2x+C2 x e^-2x+x^412e^-2x, com C1,C2 constantes arbitrárias.

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