Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros: ) ;
Passo 1
A EDO dada é para . O conteúdo é equação linear de 2º ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar da solução homogênea e depois aplicar o método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos o polinômio característico . Resolvendo, temos raiz dupla . Logo, as soluções fundamentais são e , e a solução geral homogênea é .
Passo 3
No método de variação de parâmetros, buscamos e impomos o sistema
Aqui .
Passo 4
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -y2(x),g(x)W, u2' = y1(x),g(x)W
Substituindo, obtemos
Passo 5
Integramos para achar u1 e u2: ui C1,C2
Como qualquer constante contida em K1=K2=0 pode ser absorvida em , vamos tomar .
Passo 6
A solução particular é
yp = u1 y1 + u2 y2 = -x^44e^-2x + x^33cdot x e^-2x = x^412e^-2x
Portanto, a solução geral da EDO é a soma de yh com yp.
Resposta
A solução geral é y(x)=C1 e^-2x+C2 x e^-2x+x^412e^-2x, com C1,C2 constantes arbitrárias.