Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
Passo 1
A EDO dada é
. É uma equação linear não-homogênea de 2ª ordem. Para resolver via Variação de Parâmetros, vamos: (1) achar a solução geral da homogênea; (2) aplicar o método para obter uma solução particular; (3) somar as duas partes.
Passo 2
A equação característica da homogênea
é
, cuja raiz dupla é
. Logo as soluções fundamentais são
e
, e a solução geral homogênea é
.
Passo 3
Na Variação de Parâmetros, a solução particular é dada por
$$z_p = -y_1 \int \frac{y_2 f(x)}{W},dx ;+
y_2 \int \frac{y_1 f(x)}{W}\,dx,$$
onde
e o Wronskiano
.
Passo 4
Calculando o Wronskiano e as derivadas:
logo
$$W = ex(ex + x e^x) - e^x(x e^x) = e^{2x}.
$$
Assim
Passo 5
Para
, definimos
$$I_2 = \int \ln x,e^{-2x}dx.
$$
Fazendo partes com
e
resulta em
Logo
$$u_2 = -\tfrac12 e^{-2x}\ln x - \tfrac12\mathrm{Ei}(-2x).
$$
Passo 6
Para
, definimos
$$I_1 = \int x\ln x,e^{-2x}dx.
$$
Fazendo partes com
e
obtemos
Logo
Passo 7
Substituindo em
e simplificando, nota-se que os termos em
se cancelam, restando
$$z_p = \tfrac14 e^{-x}(\ln x +1) + \tfrac{1-2x}{4}e^x,\mathrm{Ei}(-2x).
$$
Passo 8
Somando a parte homogênea
com a particular
, obtemos a solução geral da EDO.