Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
z^prime prime-2 z^prime+z=e^-x ln x

Passo 1

A EDO dada é z'' - 2z' + z = e^-xln x. É uma equação linear não-homogênea de 2ª ordem. Para resolver via Variação de Parâmetros, vamos: (1) achar a solução geral da homogênea; (2) aplicar o método para obter uma solução particular; (3) somar as duas partes.

Passo 2

A equação característica da homogênea z'' - 2z' + z = 0 é r^2 - 2r + 1 = 0, cuja raiz dupla é r=1. Logo as soluções fundamentais são y1=e^x e y2=x e^x, e a solução geral homogênea é zh = C1 e^x + C2 x e^x.

Passo 3

Na Variação de Parâmetros, a solução particular é dada por
$$z_p = -y_1 \int \frac{y_2 f(x)}{W},dx ;+
      y_2 \int \frac{y_1 f(x)}{W}\,dx,$$
onde zp = -y1 integral y2 f(x)W,dx ;+ y2 integral y1 f(x)W,dx, e o Wronskiano f(x)=e^-xln x.

Passo 4

Calculando o Wronskiano e as derivadas:
y1'=e^x, y2'=e^x + x e^x,
logo
$$W = ex(ex + x e^x) - e^x(x e^x) = e^{2x}.
$$
Assim
W = e^x(e^x + x e^x) - e^x(x e^x) = e^2x

Passo 5

Para u2', definimos
$$I_2 = \int \ln x,e^{-2x}dx.
$$
Fazendo partes com I2 = integral ln x,e^-2xdx e u=ln x resulta em
dv=e^-2xdx
Logo
$$u_2 = -\tfrac12 e^{-2x}\ln x - \tfrac12\mathrm{Ei}(-2x).
$$

Passo 6

Para u1', definimos
$$I_1 = \int x\ln x,e^{-2x}dx.
$$
Fazendo partes com I1 = integral xln x,e^-2xdx e u=ln x obtemos
dv=x e^-2xdx
Logo
I1 = -tfrac12 x e^-2xln x - tfrac14 e^-2x(ln x +1) - tfrac14Ei(-2x)

Passo 7

Substituindo em zp = u1 y1 + u2 y2 e simplificando, nota-se que os termos em x e^-xln x se cancelam, restando
$$z_p = \tfrac14 e^{-x}(\ln x +1) + \tfrac{1-2x}{4}e^x,\mathrm{Ei}(-2x).
$$

Passo 8

Somando a parte homogênea zh com a particular zp, obtemos a solução geral da EDO.

Resposta

z(x)=C1 e^x + C2 x e^x + tfrac14 e^-x(ln x +1) + tfrac1-2x4e^x,Ei(-2x)

Exercícios relacionados