Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
Passo 1
Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge e, caso converja, se essa convergência é simples ou absoluta. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente as séries alternadas e os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de . Sabemos que para valores inteiros de , essa função assume valores que repetem a sequência . Isso significa que os termos da série alternam entre positivos, negativos e zeros, dependendo do valor de .
Passo 3
A série em questão pode ser reescrita considerando os valores de :
Para :
Para :
Para :
Para :
E assim por diante…
Isso indica que metade dos termos da série são zero, e os outros alternam entre e .
Passo 4
Vamos simplificar a série considerando apenas os termos não nulos. Observamos que a série se torna:
Podemos fatorar a constante :
Passo 5
Agora, temos uma série alternada do tipo , onde . Para verificar a convergência dessa série, usamos o Critério da Série Alternada, que diz que a série converge se:
para todo ,
,
é decrescente.
Passo 6
Verificando os critérios:
para todo ,
,
A sequência é decrescente porque, conforme aumenta, diminui.
Portanto, pela aplicabilidade do Critério da Série Alternada, a série converge.
Passo 7
Para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, verificamos a convergência da série dos valores absolutos:
Essa última série é semelhante à série p com p = 12, que é divergente porque p <= 1.
Resposta
A série sumn=1^+infty sin (n pi2)raizn+1 converge de forma condicional.