Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=1^+infty sin (n pi2)raizn+1

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^+infty sin (n pi2)raizn+1. O objetivo é determinar se essa série converge e, caso converja, se essa convergência é simples ou absoluta. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente as séries alternadas e os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de sin (n pi2). Sabemos que para valores inteiros de n, essa função assume valores que repetem a sequência 0, 1, 0, -1. Isso significa que os termos da série alternam entre positivos, negativos e zeros, dependendo do valor de n.

Passo 3

A série em questão pode ser reescrita considerando os valores de sin (n pi2):
  • Para n = 1: sin(pi2) = 1
  • Para n = 2: sin(pi) = 0
  • Para n = 3: sin(3pi2) = -1
  • Para n = 4: sin(2pi) = 0
  • E assim por diante…
Isso indica que metade dos termos da série são zero, e os outros alternam entre 1 e -1.

Passo 4

Vamos simplificar a série considerando apenas os termos não nulos. Observamos que a série se torna:
sumk=0^+infty (-1)^kraiz2k+1 + 1 = sumk=0^+infty (-1)^kraiz2k+2 = sumk=0^+infty (-1)^kraiz2(k+1)
Podemos fatorar a constante 1raiz2:
1raiz2 sumk=0^+infty (-1)^kraizk+1

Passo 5

Agora, temos uma série alternada do tipo sum (-1)^k ak, onde ak = 1raizk+1. Para verificar a convergência dessa série, usamos o Critério da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. ak > 0 para todo k,
  2. limk to infty ak = 0,
  3. ak é decrescente.

Passo 6

Verificando os critérios:
  1. ak = 1raizk+1 > 0 para todo k,
  2. limk to infty 1raizk+1 = 0,
  3. A sequência ak é decrescente porque, conforme k aumenta, ak diminui.
Portanto, pela aplicabilidade do Critério da Série Alternada, a série sumk=0^+infty (-1)^kraizk+1 converge.

Passo 7

Para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, verificamos a convergência da série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty | sin (n pi2)raizn+1 | = sumk=0^+infty 1raiz2k+2 = 1raiz2 sumk=0^+infty 1raizk+1
Essa última série é semelhante à série p com p = 12, que é divergente porque p <= 1.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin (n pi2)raizn+1 converge de forma condicional.

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