Ache a solução da equação
d^2 yd x^2-8 d yd x+16 y=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 8 d yd x + 16 y = 0
Essa equação pertence à matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos utilizar o método dos coeficientes característicos, que nos permite encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, associamos a equação diferencial a uma equação característica substituindo as derivadas por potências de uma incógnita $ m $. A equação característica correspondente é:
m

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ m $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
m
Obtemos uma raiz dupla em $ m = 4 $.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) e^m x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais, e $ m $ é a raiz encontrada.

Passo 5

Substituindo $ m = 4 $ na expressão acima, temos a solução geral da equação diferencial:
m = 4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^4 x

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