Ache a solução da equação
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa equação pertence à matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos utilizar o método dos coeficientes característicos, que nos permite encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, associamos a equação diferencial a uma equação característica substituindo as derivadas por potências de uma incógnita $ m $. A equação característica correspondente é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ m $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla em $ m = 4 $.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais, e $ m $ é a raiz encontrada.
Passo 5
Substituindo $ m = 4 $ na expressão acima, temos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: