Mostre que se o número complexo z tem argumento theta então z^2 tem argumento 2 theta. E quais seriam os argumentos de z^3, z^4, ldots, z^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre números complexos e seus argumentos. Nosso objetivo é mostrar que se um número complexo $ z $ tem argumento $ \theta $, então $ z^2 $ tem argumento $ 2\theta $. Além disso, vamos descobrir quais seriam os argumentos de $ z^3, z^4, ···, z^n $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a representação de números complexos e como os argumentos se comportam quando elevamos um número complexo a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo $ z $ pode ser escrito na forma $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $, onde:
  • $ r $ é o módulo de $ z $ (a distância do ponto ao origem no plano complexo).
  • $ \theta $ é o argumento de $ z $ (o ângulo que o vetor que representa $ z $ faz com o eixo positivo das abscissas).

Passo 3

Quando elevamos um número complexo a uma potência, usamos a fórmula de De Moivre, que nos diz que:
z^n = r^n ( cos(ntheta) + isin(ntheta) )
Isso significa que, ao elevar $ z $ à potência $ n $, o novo módulo é $ r^n $ e o novo argumento é $ n\theta $.

Passo 4

Vamos aplicar isso para $ n = 2 $. Então:
n = 2
O argumento de $ z^2 $ é $ 2\theta $, que é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 5

Agora, para $ z^3 $:
z^3
O argumento de $ z^3 $ é $ 3\theta $.

Passo 6

Seguindo a mesma lógica, para qualquer potência $ n $:
n
Portanto, o argumento de $ z^n $ é $ n\theta $.

Resposta

Assim, mostramos que se $ z $ tem argumento $ \theta $, então $ z^2 $ tem argumento $ 2\theta $. De forma geral, para qualquer potência $ n $, $ z^n $ terá argumento $ n\theta $.

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