Mostre que se o número complexo
tem argumento
então
tem argumento
. E quais seriam os argumentos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre números complexos e seus argumentos. Nosso objetivo é mostrar que se um número complexo $ z $ tem argumento $ \theta $, então $ z^2 $ tem argumento $ 2\theta $. Além disso, vamos descobrir quais seriam os argumentos de $ z^3, z^4, ···, z^n $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a representação de números complexos e como os argumentos se comportam quando elevamos um número complexo a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo $ z $ pode ser escrito na forma $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $, onde:
- $ r $ é o módulo de $ z $ (a distância do ponto ao origem no plano complexo).
- $ \theta $ é o argumento de $ z $ (o ângulo que o vetor que representa $ z $ faz com o eixo positivo das abscissas).
Passo 3
Quando elevamos um número complexo a uma potência, usamos a fórmula de De Moivre, que nos diz que:
Isso significa que, ao elevar $ z $ à potência $ n $, o novo módulo é $ r^n $ e o novo argumento é $ n\theta $.
Passo 4
Vamos aplicar isso para $ n = 2 $. Então:
O argumento de $ z^2 $ é $ 2\theta $, que é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 5
Agora, para $ z^3 $:
O argumento de $ z^3 $ é $ 3\theta $.
Passo 6
Seguindo a mesma lógica, para qualquer potência $ n $:
Portanto, o argumento de $ z^n $ é $ n\theta $.
Resposta
Assim, mostramos que se $ z $ tem argumento $ \theta $, então $ z^2 $ tem argumento $ 2\theta $. De forma geral, para qualquer potência $ n $, $ z^n $ terá argumento $ n\theta $.