Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida com uma condição inicial. A equação é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação separável, onde podemos separar as variáveis $ y $ e $ t $ para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Queremos deixar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ t $ do outro. Assim:
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e $ dt $, temos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a função $ y(t) $.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Vamos juntar as integrais e simplificar a expressão. Ignoramos as constantes de integração separadas $ C_1 $ e $ C_2 $ e representamos por uma só constante $ C $:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear $ 2C $ como $ C’ $ (uma nova constante), então:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante $ C’ $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ y = 10 $. Substituindo esses valores:
Resposta
Substituindo $ C’ = 100 $ de volta na equação, temos:
Para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial $ y(0) = 10 $ é: