Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
dydt=15-3 y y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial lá de início. A gente tem a equação dydt = 15 - 3y e uma condição inicial que diz que quando t = 0, y = 2. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver elas, como o fator integrante. Vamos precisar usar um pouco de cálculo básico e entender como aplicar esses métodos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é dydt + P(t)y = Q(t). No nosso caso, temos:
dydt + 3y = 15
Aqui, P(t) = 3 e Q(t) = 15.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 3 dt = e^3t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t), assim:
e^3t dydt + 3e^3ty = 15e^3t
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto mu(t)y:
ddt ( e^3t y ) = 15e^3t

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( e^3t y ) dt = integral 15e^3t dt
A integração do lado esquerdo simplesmente dá e^3t y, e a do lado direito dá:
153 e^3t + C = 5e^3t + C
Então, temos:
e^3t y = 5e^3t + C

Passo 6

Agora, vamos resolver para y dividindo ambos os lados por e^3t:
y = 5 + Ce^-3t

Passo 7

Por fim, usamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar a constante C. Substituindo t = 0 e y = 2 na equação:
2 = 5 + C e^0 implies 2 = 5 + C implies C = -3

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:
y(t) = 5 - 3e^-3t

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