Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial lá de início. A gente tem a equação
e uma condição inicial que diz que quando
,
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver elas, como o fator integrante. Vamos precisar usar um pouco de cálculo básico e entender como aplicar esses métodos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
, assim:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplesmente dá
, e a do lado direito dá:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é: