Resolva as equações diferenciais
dydt=p t^2-p+t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por:
dydt = p t^2 - p + t^2 - 1
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que fazem parte do estudo do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos combinar os termos semelhantes:
p t^2 + t^2 - p - 1 = (p + 1)t^2 - (p + 1)
Então, a equação fica:
dydt = (p + 1)t^2 - (p + 1)

Passo 3

Agora, para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
y(t)
O lado esquerdo simplifica para $ y(t) $, então temos:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para $ \int (p + 1)t^{2} , dt $:
A integral de $ t^{2} $ é $ \frac{t^{3}}{3} $, então:
integral (p + 1)t^2 , dt
  1. Para $ \int (p + 1) , dt $:
A integral de uma constante $ (p + 1) $ em relação a $ t $ é $ (p + 1)t $, então:
t^2

Passo 5

Substituindo as integrais de volta na expressão para $ y(t) $:
y(t)
Podemos fatorar $ (p + 1) $ para simplificar:
y(t) = (p + 1)t^33 - (p + 1)t + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (p + 1)t^33 - (p + 1)t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Exercícios relacionados