Resolva as equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que fazem parte do estudo do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos combinar os termos semelhantes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
O lado esquerdo simplifica para $ y(t) $, então temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Para $ \int (p + 1)t^{2} , dt $:
A integral de $ t^{2} $ é $ \frac{t^{3}}{3} $, então:
- Para $ \int (p + 1) , dt $:
A integral de uma constante $ (p + 1) $ em relação a $ t $ é $ (p + 1)t $, então:
Passo 5
Substituindo as integrais de volta na expressão para $ y(t) $:
Podemos fatorar $ (p + 1) $ para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.