Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeira ordem. O exercício pede para encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação $ \frac{dy}{dx} = x e^{y} $ e que passa pelo ponto $ y(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ na equação. Isso significa que vamos tentar reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo $ y $ fiquem de um lado e os termos envolvendo $ x $ fiquem do outro lado.
A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, temos:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 4
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração em uma única constante $ C $:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, isolamos o termo exponencial:
Para simplificar, vamos chamar $ -C $ de outra constante $ K $:
Então, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para $ y $:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor da constante $ K $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial $ y(0) = 0 $ é: