Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
dydx=x e^y, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeira ordem. O exercício pede para encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação $ \frac{dy}{dx} = x e^{y} $ e que passa pelo ponto $ y(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ na equação. Isso significa que vamos tentar reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo $ y $ fiquem de um lado e os termos envolvendo $ x $ fiquem do outro lado.
A equação dada é:
y
Podemos reescrever isso como:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Do lado esquerdo, temos:
integral dye^y = integral e^-y dy = -e^-y + C1
Do lado direito, temos:
integral x , dx = 12x^2 + C2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 4

Igualando as duas integrais, temos:
- e^-y + C1 = 12x^2 + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração em uma única constante $ C $:
C

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, isolamos o termo exponencial:
y
Para simplificar, vamos chamar $ -C $ de outra constante $ K $:
e^-y = -12x^2 - C
Então, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para $ y $:
-C
K

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor da constante $ K $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na equação:
y(0) = 0
K
x = 0
y = 0

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial $ y(0) = 0 $ é:
y(0) = 0

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