b) Ache uma solução explícita do problema do item (a) e dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida. Um software pode ser útil aqui.
d yd x=y^2-x^2x y, y(1)=-raiz2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dydx = y^2 - x^2x y com condição inicial y(1) = -raiz2. Esse é um caso clássico de equação homogênea, em que podemos usar a substituição v = yx.

Passo 2

Colocando y = v x, temos dydx = xdvdx + v. Substituindo na EDO:
xdvdx + v = v^2 x^2 - x^2x cdot v x = x^2(v^2 - 1)v x^2 = v^2 - 1v

Passo 3

Isolando dv/dx:
xdvdx = v^2 - 1v - v = -1v

Passo 4

Essa é uma equação separável. Reescrevendo e integrando:
v,dv = -dxx Longrightarrow integral v,dv = -integral dxx

Passo 5

v^22 = -ln|x| + C Longrightarrow v^2 + 2ln|x| = K, onde K = 2C. Voltando a y, como v = tfracyx, temos
l(yxr)^2 + 2ln|x| = K Longrightarrow y^2 = x^2l(K - 2ln|x|r)

Passo 6

Usando a condição inicial y(1) = -raiz2:
2 = 1^2l(K - 2ln1r) ;Rightarrow; K = 2

Passo 7

Logo
y^2 = 2x^2l(1 - ln|x|r) Longrightarrow y = pm xraiz2l(1 - ln|x|r) Como y(1) = -raiz2, escolhemos o sinal negativo. Portanto
y(x) = -,xraiz2l(1 - ln xr)

Passo 8

Para que a solução faça sentido, o radicando deve ser positivo:
1 - ln x > 0 ;Leftrightarrow; ln x < 1 ;Leftrightarrow; x < e, e precisamos de xneq 0. Como começamos em x=1, o maior intervalo de existência é 0 < x < e.

Resposta

A solução explícita é y(x) = -,xraiz2l(1 - ln xr) e ela está definida no intervalo 0 < x < e.

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