b) Resolva o problema de valor inicial do item (a) para y0>0 e encontre o maior intervalo I no qual a solução está definida.
d yd x=raizy, y(x0)=y0

Passo 1

Resumindo o problema, precisamos resolver a EDO dydx=raizy com condição inicial y(x0)=y0>0. É um caso clássico de equação separável.

Passo 2

Para resolver, separamos variáveis escrevendo dyraizy=dx e em seguida integramos os dois lados.

Passo 3

Integrando, temos
integral y^-1/2,dy=integral dx
no que leva a
2raizy=x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(x0)=y0, obtemos
2raizy0=x0+Cimplies C=2raizy0-x0
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raizy=raizy0+x-x02implies y(x)=l(raizy0+tfracx-x02r)^2

Passo 5

Para determinar o maior intervalo de existência, exigimos y>=0, ou seja
raizy0+x-x02>=0implies x>= x0-2raizy0
Assim a solução é válida em I=(x0-2raizy0,+infty).

Resposta

A solução do IVP é
y(x)=l(raizy0+tfracx-x02r)^2
e o maior intervalo de existência é I=(x0-2raizy0,+infty).

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