A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à a população presente no tempo t. A população inicial de 500 aumenta 15 % em 10 anos. Qual será a população daqui a 30 anos? Qual a velocidade da população em crescimento em t=30 ?

Passo 1

Enunciado: o crescimento populacional é proporcional à população, ou seja, satisfaz dPdt=kP. Temos condição inicial P(0)=500 e, após 10 anos, um aumento de 15%, isto é, P(10)=500times1.15. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial para encontrar a constante k.

Passo 2

A solução geral de dPdt=kP é
P(t)=P(0)e^kt=500e^kt
Como P(10)=500e^10k=500times1.15, temos
e^10k=1.15
e, portanto,
k=ln(1.15)10

Passo 3

Para achar a população em 30 anos, substituímos t=30 em P(t)=500e^kt. Observando que e^10k=1.15, podemos escrever:
P(30)=500e^30k=500l(e^10kr)^3=500times1.15^3approx760.4375

Passo 4

A velocidade de crescimento em t=30 é dada por dPdt=kP. Logo,
dPdt|t=30=k,P(30)=ln(1.15)10times760.4375approx10.63 habitantes/ano

Resposta

A população daqui a 30 anos será aproximadamente 760,44 habitantes. A velocidade de crescimento em t=30 é aproximadamente 10,63 habitantes por ano.

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