Ache a solução geral de cada uma das
, usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial de segunda ordem $ 3y’’ + 4y’ + y = \sin t \cdot e^{-t} $. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada a $ 3y’’ + 4y’ + y = 0 $. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as raízes:
Então, temos:
Passo 3
Com as raízes reais e distintas encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea $ y_1 = e^{-\frac{1}{3}t} $ e $ y_2 = e^{-t} $.
Em seguida, calculamos o Wronskiano $ W $ das soluções:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, usamos as fórmulas para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
Onde $ g(t) = \sin t \cdot e^{-t} $.
Calculando $ u_1’ $:
Integrando $ u_1’ $:
Esse integral requer o método da integração por partes ou o uso de tabelas de integrais.
Calculando $ u_2’ $:
Integrando $ u_2’ $:
Passo 6
A solução particular é então:
Resolva o integral para $ u_1 $ conforme necessário.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ 3y’’ + 4y’ + y = \sin t \cdot e^{-t} $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias, e a solução particular é obtida pelo método da variação dos parâmetros conforme detalhado nos passos anteriores.