Ache a solução geral da EDO:
d yd t=(1+t) cdot(1+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que foi passada:
d yd t = (1 + t) cdot (1 + y)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ t $ de cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Isso significa que queremos ter todos os termos com $ y $ de um lado e todos os termos com $ t $ do outro.
A equação original é:
y
Dividimos ambos os lados por $ 1 + y $:
t

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função $ y(t) $ que satisfaça a equação diferencial.
Integramos o lado esquerdo em relação a $ y $:
y(t)
E integramos o lado direito em relação a $ t $:
y

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 11 + y , d y = ln|1 + y| + C1
Onde $ \ln $ é o logaritmo natural e $ C_1 $ é a constante de integração.
Para o lado direito:
ln
Onde $ C_2 $ também é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos das integrais:
ln|1 + y| + C1 = t + t^22 + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 6

Para achar $ y $, vamos resolver a equação para $ y $:
Primeiro, aplicamos a função exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
y
Simplificando, temos:
y
Podemos substituir $ e^{C} $ por uma nova constante $ C’ $ (já que $ e^{C} $ é apenas outra constante):
e^ln|1 + y| = e^t + t^22 + C
Finalmente, isolamos $ y $:
1 + y = e^C cdot e^t + t^22

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = C cdot e^, t + t^22 - 1
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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