Ache a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que foi passada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ t $ de cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Isso significa que queremos ter todos os termos com $ y $ de um lado e todos os termos com $ t $ do outro.
A equação original é:
Dividimos ambos os lados por $ 1 + y $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função $ y(t) $ que satisfaça a equação diferencial.
Integramos o lado esquerdo em relação a $ y $:
E integramos o lado direito em relação a $ t $:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Onde $ \ln $ é o logaritmo natural e $ C_1 $ é a constante de integração.
Para o lado direito:
Onde $ C_2 $ também é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 6
Para achar $ y $, vamos resolver a equação para $ y $:
Primeiro, aplicamos a função exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Simplificando, temos:
Podemos substituir $ e^{C} $ por uma nova constante $ C’ $ (já que $ e^{C} $ é apenas outra constante):
Finalmente, isolamos $ y $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.