Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
f. 2 d^2 yd x^2+2 d yd x+y=0.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem com coeficientes constantes
O que vamos usar: método do polinômio característico e a forma da solução para raízes complexas

Passo 2

Para equações do tipo
2d^2ydx^2 + 2dydx + y = 0
supondo uma solução da forma y = e^rx e substituindo, obtemos a equação característica

Passo 3

A equação característica é
2r^2 + 2r + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara em ar^2+br+c=0 com a=2, b=2 e c=1, temos
De
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r = -b pm raizDe

Passo 4

Como as raízes são complexas r = a pm bi com a = -tfrac12 e b = tfrac12, a solução geral é dada por
y(x) = e^axl(C1cos(bx) + C2sin(bx)r)
Substituindo a e b, obtemos a solução final

Resposta

y(x)=e^-x/2l(C1cos(tfracx2)+C2sin(tfracx2)r)

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