Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a. l(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0, y(1)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de valor inicial
Temos
(2x - y),dx + (2y - x),dy = 0 com y(1)=3.
O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem exatas, e vamos precisar usar a definição de exatidão e a função potencial.

Passo 2

Primeiro, identifico os termos
M(x,y) = 2x - y e N(x,y) = 2y - x.
Para saber se a equação é exata, calculo
partial Mpartial y = -1
partial Npartial x = -1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Sabendo que é exata, existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M = 2x - y
partial Phipartial y = N = 2y - x.
Integro M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - xy + h(y)
Agora imponho
partial Phipartial y = -x + h'(y) = 2y - x
Logo h'(y)=2y e h(y)=y^2 + C1.
Assim,
Phi(x,y) = x^2 - xy + y^2

Passo 4

A solução implícita é Phi(x,y)=C, ou seja,
x^2 - xy + y^2 = C
Uso a condição inicial y(1)=3:
1^2 - 1cdot3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7
Então C=7 e a solução fica
x^2 - xy + y^2 = 7

Passo 5

Para escrever y em função de x, resolvo a quadrática
y^2 - x y + (x^2 - 7) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = x pm raizx^2 - 4(x^2 - 7)2 = x pm raiz-3x^2 + 282
Como y(1)=3>0, escolhemos o sinal +:
y(x) = x + raiz28 - 3x^22

Resposta

y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2}

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